¿A dónde vamos?
En esta unidad aprenderemos a transformar cantidades mediante operaciones aritméticas elementales y a encontrar la solución a problemas que requieran operar cantidades representadas con fracciones.
¿Para qué nos sirve ir?
Nos sirve para resolver situaciones como esta:
Ana María ha estado repartiendo las labores del hogar entre su hermano y su hijo para garantizar la convivencia y contar con tiempo para trabajar y estudiar. Ella considera que su hijo debe aprender a tener responsabilidades, y que su hermano puede ser un ejemplo para él, así como ella quiere serlo.
Ha hecho una lista de labores y ha tratado de repartirlas con equidad, es decir, no de igual manera para ambos, sino teniendo en cuenta las condiciones de cada quien. En total ha listado 15 tareas y, teniendo en cuenta la intensidad y esfuerzo requerido para cada una de ellas, ha determinado que a Edward le correspondan 3 y a su hermano 7. Como las restantes las pueden realizar tanto un niño como un adulto (como limpiar la mesa del comedor, doblar las medias y ropa interior, o sacar la basura del baño), espera repartirlas de manera igualitaria.
¿Cómo quedarían distribuidas las tareas finalmente?
¿Qué sabemos?
| Ejercicio 1: Valoremos |
| a. ¿Qué es una propiedad, una ley y una regla? b. ¿Para qué sirven las propiedades, leyes o reglas? c. ¿Qué propiedades se cumplen en las operaciones aritméticas entre números naturales, es decir, en la suma, la resta, la multiplicación y la división? d. ¿Para qué sirven las propiedades de las operaciones aritméticas? |
¿Qué cosas nuevas debemos saber?
Para la suma o la resta
- ¿Cómo obtener el denominador de la suma o resta? Basta con encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores.
- ¿Cómo se obtienen los multiplicadores de los numeradores? Dividiendo el M.C.M. por los denominadores de cada fracción.
- Multiplicar el resultado anterior por la fracción siguiente; es decir, multiplicar el multiplicador por el numerador correspondiente.
- Las fracciones ahora son homogéneas. Sumar los numeradores resultantes y conservar un solo denominador.
Para la multiplicación de fracciones
- ¿Cómo obtener el numerador en una multiplicación de fracciones? Multiplicando los numeradores de cada fracción y conservando el resultado como numerador.
- ¿Cómo obtener el denominador en una multiplicación de fracciones? Basta con multiplicar los denominadores de cada fracción y conservar el resultado como denominador.
- La fracción obtenida es el cociente entre los productos de los denominadores.
Para la división
- Multiplicar en forma de X: numerador de una fracción con el denominador de la otra.
- El numerador será el resultado de la multiplicación del primer numerador por el segundo denominador.
- El denominador será el resultado de multiplicar el primer denominador por el segundo numerador.
- El cociente entre estos resultados será la fracción resultante.
Explicación y ejemplo
La suma
Sea a = 3/5 y b = 7/2. Entonces: a + b = 3/5 + 7/2. M.C.M. de 5 y 2 es 10.
Paso 1: Encontrar el M.C.M. de los denominadores. Como 5 y 2 son primos basta con multiplicarlos: 5 × 2 = 10.
Paso 2: Ahora los multiplicadores de la fracción son: 10 ÷ 5 = 2 y 10 ÷ 2 = 5.
Por tanto, nuestras nuevas fracciones son: 2(3)/10 = 6/10 y 5(7)/10 = 35/10.
Sumando, tenemos: 6/10 + 35/10 = 41/10.
La resta
Ejemplo: 1/3 − 2/7. Como el 3 y el 7 son primos, el M.C.M. es equivalente a 3 × 7.
Paso 1: multiplicar los denominadores: 3 × 7 = 21.
Paso 2: multiplicar cada denominador por el numerador de la otra fracción: 1 × 7 = 7 y 3 × 2 = 6.
Paso 3: restar los dos resultados obtenidos en el paso anterior: 7 − 6 = 1.
Paso 4: escribir la fracción, en la cual el numerador es el resultado del paso 3 y el denominador es el resultado del paso 1: 1/21.
La multiplicación
Ejemplo: 2/9 × 1/4
Paso 1: multiplicar los denominadores: 9 × 4 = 36.
Paso 2: multiplicar los numeradores: 2 × 1 = 2.
Paso 3: escribir la fracción, en la cual el numerador es el resultado del paso 2 y el denominador es el resultado del paso 1: 2/36.
La división
Ejemplo: 3/7 ÷ 5/2
Paso 1: multiplicar cada denominador por el numerador de la otra fracción: 3 × 2 = 6 y 7 × 5 = 35.
Paso 2: escribir la fracción, en la cual el numerador es el producto del primer numerador con el segundo denominador y el denominador es el resultado del otro producto: 6/35.
| Curiosidades |
| Las fracciones pueden simplificarse para que sean más fáciles de manipular, sin embargo, algunas veces suceden extrañas coincidencias en las simplificaciones que no deben considerarse como reglas: 16/64 = 8/32 = 4/16 = 2/8 = 1/4 16/64 → 1/4 |
Apliquemos lo aprendido
| Ejercicio 2: Colaboremos |
| Reúnanse en grupos de tres personas y realicen las siguientes operaciones: a. Hagan la suma, la multiplicación y la división entre las siguientes parejas de fracciones: 3/4 y 5/9; 2/3 y 1/2; 7/6 y 3/5. b. Determinen qué propiedades (conmutativa, asociativa o modulativa) se pueden aplicar cuando operan con fracciones (revisar la sección Reflexionemos). Escriban un ejemplo en el que se verifique si se cumplen o no. |
| Ejercicio 3: Resolvamos |
| Formen parejas y resuelvan la situación de Ana María de la siguiente manera: a. Representen las fracciones de la repartición inicial donde el denominador equivale al total de la lista. b. Determinen qué operación deben desarrollar para encontrar la fracción de tareas ya asignadas. c. Determinen qué cantidad falta por asignar de dos maneras, la primera es escribiendo la fracción que representa la parte faltante y la segunda considerando una operación entre la fracción encontrada y el total inicial. |
| Reflexiones |
| Las operaciones tienen propiedades que permiten flexibilizar su uso en la resolución de problemas. • Conmutativa: la suma o el producto de dos números naturales se puede hacer en cualquier orden. • Asociativa: la suma o el producto de tres números naturales se puede hacer asociando cualquier par de ellos en primer lugar. • Modulativa: para la suma y el producto existen dos números, el cero y el uno, que permiten que cualquier número operado con ellos no se altere ni se transforme. ¿Qué sucedería si las operaciones suma y producto no tuvieran estas tres propiedades? |
| Ejercicio 4: Ejercitemos |
| Encuentre el resultado de las operaciones mencionadas y elabore una conclusión a partir de sus hallazgos: 2/5 + 1/3 1/3 + 2/7 5/7 + 2/7 3/4 − 1/4 5/7 − 2/7 4/9 − 2/9 2/3 × 2/7 3/7 × 4/3 2/3 ÷ 2/5 7/15 ÷ 7/3 |
| Ejercicio 5: Volvámonos expertos |
| a. ¿Cuáles pasos podrían simplificarse en cada uno de los procedimientos presentados en esta unidad? b. Haga la suma entre 2/9 y 1/3 y represéntela en un diagrama, proponga también una imagen para la resta. |
CAPSULA TRANSVERSAL
Históricamente el ser humano ha desarrollado tecnologías a la medida de sus necesidades; tecnologías que a su vez han creado nuevas necesidades, de las que emergen nuevas tecnologías en una escalada interminable.
La irrupción de los computadores y su integración a la sociedad han generado una vertiginosa carrera tecnológica que amenaza con incomunicar a quienes no entren en ella. Sin embargo, es innegable el aporte que la computación ha realizado a la vida diaria de los seres humanos, principalmente en la solución de problemas complejos como el transporte a grandes distancias, el trasplante de órganos, la mejora del rendimiento deportivo, las comunicaciones o la ingeniería genética.
Estos avances surgen gracias a la posibilidad de codificar y operar la realidad con el lenguaje de los números, pues es con un código elemental que se pueden programar y transmitir datos.
¿Qué aprendimos?
- ¿Cuáles son los pasos para resolver las operaciones aritméticas entre fracciones?
- ¿En qué situaciones de la vida diaria “el orden de los factores no altera el resultado”?
- ¿Qué fortalezas y debilidades tiene usted en la ejecución de cada procedimiento?
| Ejercicio 6: Afiancemos |
| Determine en cada situación las cantidades y las operaciones que le permiten enfrentarla, y luego resuélvalas: a. Distribución del dinero en su hogar, ¿qué parte le corresponde a todos los egresos? Recuerde que los egresos corresponden al dinero que usted debe usar para adquirir productos o servicios, por ejemplo, el pago del arriendo es un egreso. b. Distribución de las tareas del hogar. c. Distribución de los espacios de tu hogar, ¿qué parte le corresponde a las habitaciones? |
